Question

已知反比例函数的图象与一次函数y=k₂x+m的图象交于A（-1，a）、B（，-3）两点，连结AO．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）设点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，请直接写出点C的坐标．

Answer

（1）将点A（-1，a）、B（，-3）代入反比例函数中得：-3×=（-1）×a=k1，可求k1、a；再将点A（-1，a）、B（，-3）代入y2=k2x+m中，列方程组求k2、m即可；
（2）分三种情况：①OA=OC；②AO=AC；③CA=CO；讨论可得点C的坐标．
【解析】
（1）∵反比例函数的图象经过B（，-3），
∴k1=3××（-3）=-3，
∵反比例函数的图象经过点A（-1，a），
∴a=1．
由直线y2=k2x+m过点A，B得：
，
解得．
∴反比例函数关系式为y=-，一次函数关系式为y=-3x-2；

（2）点C在y轴上，且与点A、O构成等腰三角形，点C的坐标为：（0，-）或（0，）或（0，2）或（0，1）．

如图，线段OA的垂直平分线与y轴的交点，有1个；
以点A为圆心、AO长为半径的圆与y轴的交点，有1个；
以点O为圆心、OA长为半径的圆与y轴的交点，有2个．
以上四个点为所求．