Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D．
（1）求m、a、b的值；
（2）若动点P从点C出发，沿线段CB以每秒2个单位长的速度运动，过点P作y轴的平行线交抛物线于Q．当点P运动几秒时，线段PQ的值最大，并求此时P点坐标；
（3）在（2）条件下，当线段PQ的值最大时，四边形ACQB面积是否也最大？说明理由．

Answer

（1）通过抛物线的解析式，首先能确定的是OC的长，已知⊙M的半径长，过M作y轴的垂线，通过构建的直角三角形能确定点M的纵坐标；同理，过M作x轴的垂线后可求出点B的坐标，而A、B关于抛物线的对称轴对称（根据圆和抛物线的对称性，点M正好在抛物线对称轴上），在确定点A的坐标后，利用待定系数法即可求出a、b的值．
（2）首先求出直线BC的解析式，根据直线BC和抛物线的解析式，先表示出点P、Q的坐标，两点纵坐标的差即为线段PQ的长，根据所得函数的性质即可得解．
（3）四边形ACQB中，可分作两部分对待：△ABC、△BCQ，前者的面积是定值，若四边形的面积最大，那么△BCQ的面积最大，而这个面积可由PQ×OB（点B、C横坐标差的绝对值）的一半，OB是定值，显然PQ最大时，四边形的面积也是最大的．
【解析】
（1）作MN⊥CD于N，MH⊥AB于H，分别连接MC、MB．
∵⊙M的半径为，xM=1，
∴CN=2，ON=1，BH=2，OB=3；
得m=-1．
∵圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，
∴OA=1，A（-1，0）、B（3，0）；
代入y=ax2+bx-3得：
，
解得．
所以m=-1，a=1，b=-2．

（2）设点P运动的时间为t秒，则CP=2t；
又∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴xP=t；
易知，直线BC的解析式为 y=x-3
∴点P（t，t-3）．
∵PQ∥y轴，
∴Q（t，2t2-2t-3）．
PQ=t-3-（2t2-2t-3）=-2t2+3t=-2（t-）2+．
当点P运动秒，线段PQ的值最大；
故此时点P的坐标为（，-）．

（3）当线段PQ的值最大是，四边形ACQB的面积最大．理由：
S四边形ACQB=S△ABC+S△CQB，
其中，S△ABC=AB×OC=×4×3=6，为定值；
而S△CQB=×|xB-xC|×PQ=×3×PQ=PQ
当线段PQ的值最大时，△CQB的面积最大，即四边形ABCQ的面积最大．