Question

已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

Answer

（1）由已知条件证明△ABE≌△ADF，根据全等三角形的性质可得到AE=AF；
（2）连接AC，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形即可得证．
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF，
∴AE=AF；
（2）连接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD．
∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°
又∵AE=AF，
∴△AEF是等边三角形．