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如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,tanB=2,CE⊥AB,垂足为点E(点...

如图,在平行四边形ABCD中,AB=8,tanB=2,CE⊥AB,垂足为点E(点E在边AB上),F为边AD的中点,联结EF,CD.
(1)如图1,当点E是边AB的中点时,求线段EF的长;
(2)如图2,设BC=x,△CEF的面积等于y,求y与x的函数解析式,并写出自变量的取值范围;
(3)当BC=16时,∠EFD与∠AEF的度数满足数量关系:∠EFD=k∠AEF,其中k≥0,求k的值.
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(1)分别延长BA、CF相交于点P,证出===,PA=AB=8,得出AE=BE=AB=4,PE=PA+AE=12,再根据EC=BE•tanB=4×2=8,求出PC==4,最后根据在Rt△PEC中,∠PEC=90°,PF=PC,即可得出EF=PC=2, (2)在Rt△PEC中,先求出BE=EC,根据BC=x,BE2+EC2=BC2,得出BE=x,EC=2BE=x,AE=AB-BE=8-x,求出PE=PA+AE=16-x,最后由 PF=PC,得y=S△EFC=•x(16-x), (3)在平行四边形ABCD中,AB∥CD,根据F为边AD的中点,得AF=DF=AD=8,FD=CD,∠DFC=∠DCF.根据AB∥CD,得∠DCF=∠P,∠DFC=∠P,在Rt△PEC中,根据∠PEC=90°,PF=PC,得EF=PF,∠AEF=∠P=∠DFC,最后根据∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF,得∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF,即可得k=3. 【解析】 (1)分别延长BA、CF相交于点P, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵F为边AD的中点, ∴===, ∴PA=AB=8, ∵点E是边AB的中点, ∴AE=BE=AB=4, ∴PE=PA+AE=12, ∵CE⊥AB, ∴EC=BE•tanB=4×2=8. ∴PC===4, 在Rt△PEC中,∠PEC=90°,PF=PC, ∴EF=PC=2, (2)在Rt△PEC中, ∵tanB==2, ∴BE=EC, ∵BC=x,BE2+EC2=BC2, ∴BE=x, ∴EC=2BE=x, ∴AE=AB-BE=8-x, ∴PE=PA+AE=16-x, ∵PF=PC, ∴y=S△EFC=•x(16-x)=-x2+x,(0<x≤8), (3)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,CD=AB=8,AD=BC=16, ∵F为边AD的中点, ∴AF=DF=AD=8, ∴FD=CD, ∴∠DFC=∠DCF, ∵AB∥CD, ∴∠DCF=∠P, ∴∠DFC=∠P, 在Rt△PEC中,∠PEC=90°,PF=PC, ∴EF=PF, ∴∠AEF=∠P=∠DFC, 又∵∠EFC=∠P+∠PEF=2∠PEF, ∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF, ∵∠EFD=k∠AEF, ∴k=3.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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