Question

如图，已知四边形ABCD、DEFG均为正方形，
（1）求证：AE=CG，且AE⊥CG；
（2）若正方形ABCD、DEFG的边长分别是3和2，∠ADG=30°，求四边形ACEG的面积．

Answer

（1）根据正方的性质和全等三角形的判定得出△CDG≌△ADE，便可轻松得出结论；
（2）将S△ACEG分解为S△ADG、S△ACD、S△GDE、S△CDE的面积来求．
（1）证明：∵四边形ABCD、GDEF为正方形，
∴CD=AD，GD=DE，
∠CDA=∠EDG=90°，
∴∠CDA+∠ADG=∠GDE+∠ADG，
即：∠CDG=∠ADE，
∴在△CDG和△ADE中，
，
∴△CDG≌△ADE，（3分）
∴∠1=∠4，AE=CG，又∠2=∠3，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠GOE=90°，CG⊥AE．（5分）

（2）【解析】
S△ACEG=S△ADG+S△ACD+S△GDE+S△CDE，
过G作GH⊥AD于H，过E作EM⊥CD的延长线于M．
则在Rt△GHD中，GH=DG•sin30°=2×，
∴，
，
，
∵CM⊥AD，∠ADG=30°，
∴∠GDM=60°，又GD⊥DE，
∴在Rt△MDE中，EM=ED•sin30°=2×=1，
．
S△ACEG=S△ADG+S△ACD+S△GDE+S△CDE=9.5，（10分）
法2：设AE、CG相交于点O，过G作GH⊥CD交其延长线于H．
S四边形ACEG=S△ACG+S△CEG
=
=
=．
∵∠ADH=90°，∠ADG=30°，
∴∠GDH=60°，又GH⊥DH，
∴在Rt△GDH中，∠DGH=30°，
则DH=，
∴CH=4．
Rt△CHG中，，
∴．