Question

菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°，点E是AD上一动点（不与A、D重合），点F是CD上一动点，AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

根据菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°求出菱形两条对角线的长度及ABE的边CF上的高、△BCF的边AE上的高，△DEF，进而求出菱形的面积及△ABE、△BCF的面积，然后根据AE+CF=4和∠ADC=120°，求出△CFD的面积；由图示可知：S△BEF=S菱形ABCD-S△ABE--S△BCF-S△DEF，代入数值根据二次函数的性质求出最值．
【解析】
∵菱形ABCD边长为4，∠BAD=60°；
∴△ABD与△BCD为正三角形；
∴BD=4，AC=4，△ABE的边AE上的高与△BCF的边CF上的高都为2，∠ADC=120；
设AE为x，则CF为4-x；
∴S△DEF=ED•DFsin120°=（4-x）[4-（4-x）]=-x2+x；
由图示可知：S△BEF=S菱形ABCD-S△ABE--S△BCF-S△DEF
=×4×4-CF-AE-S△DEF
=8-（CF+AE）-S△DEF
=8-4S△DEF
=x2-x+4；
根据二次函数的性质，△BEF面积的最小值====3．
故选B．