Question

如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x²+bx-2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer

如解答图所示：
（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；
（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；
（3）首先作出▱PACB，然后证明点P在抛物线上即可．
【解析】
（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，

∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx-2上，
∴1=×9+3b-2，解得：b=-．
∴抛物线的解析式为：y=x2-x-2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．
∴S△ABC=AB2=．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴，
解得k=-，b=2，
∴y=-x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=x-．
如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（-x+2）-（x-）=-x．
△CEF中，EF边上的高h=OD-x=3-x．
由题意得：S△CEF=S△ABC，
即：EF•h=S△ABC，
∴（-x）•（3-x）=×，
整理得：（3-x）2=3，
解得x=3-或x=3+（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3-时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．

（3）存在．
如答图2所示，

过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB-OG=1．
过点A作AP∥BC，且AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，则易证△PAH≌△BCG，
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH-OA=2，
∴P（-2，1）．
抛物线解析式为：y=x2-x-2，当x=-2时，y=1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（-2，1）．