Question

如图，在梯形ABCD中，CD⊥BC，已知AB=5，BC=6，cosB=，点O为BC边上的动点，连接OD，以O为圆心，OB为半径的⊙O分别交射线BA于点P，交射线OD于点M，交射线B C于N，连接OP．
（1）求CD的长．
（2）当BO=AD时，求BP的长．
（3）在点O的运动过程中，
①当∠MON=∠POB时，求⊙O的半径．
②当∠MON=∠POB时，求⊙O的半径（直接写出答案）．

Answer

（1）过点A作AE⊥BC，根据cosB==求出BE=3，由勾股定理求出AE即可；
（2）过点O作OH⊥AB于H，BH=HP，根据cosB=求出BH=，根据垂径定理求出BP=2BH，代入求出即可；
（3））①设⊙O的半径为r，当∠MON=∠POB时，有∠BOH=∠MON，此时tan∠BOH=tan∠MON，得出=，求出即可；
②过P作PQ⊥OB于Q，设BO=OP=r，根据cosB===，求出BH=r，由勾股定理求出OH=r，求出BP=2BH=r，BQ=BP=r，PQ=BP=r，根据tan∠MON=tan∠BOP得出=，求出方程的解即可．
【解析】
（1）过点A作AE⊥BC，
∵在Rt△ABE中，由AB=5，cosB==，
∴BE=3，由勾股定理得：AE=4，
∵CD⊥BC，AE⊥BC，
∴CD∥AE，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是矩形，
∴CD=AE=4．

（2）∵CD⊥BC，BC=6，
∴AD=EC=BC-BE=3，
当BO=AD=3时，在⊙O中，过点O作OH⊥AB于H，
则BH=HP，
∵cosB=，
∴BH=3×=，
∵OH⊥BP，OH过O，
∴BP=2BH=；

（3）①设⊙O的半径为r，
∵OH⊥BA，PO=OB，
∴∠BOH=∠BOP，
当∠MON=∠POB时，有∠BOH=∠MON，
此时tan∠BOH=tan∠MON，
∴=，
∴r=，
即⊙O的半径为；
②过P作PQ⊥OB于Q，
设BO=OP=r，
∵cosB===，
∴BH=OB=r，由勾股定理得：OH=r，
∴BP=2BH=r，
∴BQ=BP=r，由勾股定理得：PQ=BP=r，
∵∠MON=∠BOP，
∴tan∠MON=tan∠BOP，
∴=，
∴=，
r=0（舍去），r=，
即⊙O的半径为．