Question

已知点A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2），且抛物线y=a（x-1）²+k（a＞0）经过其中三点．
（l）求证：C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x-1）²+k（a＞0）上；
（2）试问点A在抛物线y=a（x-1）²+k（a＞0）上吗？说明理由；
（3）直接写出抛物线可能经过的三点．

Answer

（1）由抛物线的解析式y=a（x-1）2+k可知，抛物线的对称轴为x=1，而C（-1，2），E（4，2）两点纵坐标相等，如果它们同时在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上，那么应该关于直线x=1对称，但C（-1，2）与对称轴相距2个单位，E（4，2）与对称轴相距3个单位，故不可能同时在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上；
（2）假设A点在抛物线上，先将A点的坐标代入y=a（x-1）2+k，得出k=0，再根据抛物线经过5个点中的三个点，将B、C、D、E的坐标分别代入，求出对应的a值，得出矛盾，从而排除A点在抛物线上；
（3）由（2）知点A不在抛物线上，由（1）知C、E两点不可能同时在抛物线上，又因为B、D两点关于对称轴x=1对称，所以一定在抛物线上，那么另外一点可能是C点或E点，可以分别将C、D或D、E两点坐标代入求出a和k的值即可判断．
【解析】
（1）∵抛物线y=a（x-1）2+k的对称轴为x=1，
而C（-1，2），E（4，2）两点纵坐标相等，
由抛物线的对称性可知，C、E关于直线x=1对称，
又∵C（-1，2）与对称轴相距2，E（4，2）与对称轴相距3，
∴C、E两点不可能同时在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上；

（2）假设点A（1，0）在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上，
则a（1-1）2+k=0，解得k=0，
因为抛物线经过5个点中的三个点，
将B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）代入，
得出a的值分别为a=-1，a=，a=-1，a=，所以抛物线经过的点是B，D，
又因为a＞0，与a=-1矛盾，
所以假设不成立．
所以A不在抛物线y=a（x-1）2+k（a＞0）上；

（3）将D（2，-1）、C（-1，2）两点坐标代入y=a（x-1）2+k中，
得，
解得，符合题意；
将E（4，2）、D（2，-1）两点坐标代入y=a（x-1）2+k中，
得，
解得，符合题意．
综上所述，抛物线可能经过的三点是B、C、D或B、D、E．