Question

已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线相交于点C、D，且点D的坐标为（1，6）．
（1）如图1，当点C的横坐标为2时，求点C的坐标和的值；
（2）如图2，当点A落在x轴负半轴时，过点C作x轴的垂线，垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接EF．
①判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
②当时，求点C的坐标和tan∠OAB的值；
（3）若tan∠OAB=，请直接写出的值（不必书写解题过程）

Answer

（1）由点D（1，6）在反比例函数y=的图象上可求出m的值，进而得出反比例函数的解析式，再由点C的横坐标为2即可得出其纵坐标，故可得出C点坐标；再算出一次函数解析式，进而得到A、B点坐标，然后可算出的值；
（2）①设C（a，b），则ab=6，由S△EFC=|ab|=3，S△EFD=×1×6=3，可得△EFC的面积和△EFD的面积相等；
②先证明四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，故可得出CE=BF，∠FDB=∠EAC，再由全等三角形的判定定理得出△DFB≌△AEC，故AC=BD，设CD=2k，AB=k，DB=，
可得=，再证明△DFB∽△AOB，可算出OA=2，OB=4，进而得到tan∠OAB==2．
（3）根据1.2两图，要分两种情况，一是k=，二是k=-．
【解析】
（1）∵D（1，6）在y=上，
∴m=6，即双曲线解析式是 y=，
当C点横坐标为2时，纵坐标为3，
∴C（2，3）．
直线AB过点C（2，3），D（1，6），得，
解得：，
故直线AB的解析式为y=-3x+9．
∴B（0，9），A（3，0），
∴AB=3，
∵C（2，3），D（1，6），
∴CD=
∴=；

（2）①设C（a，b），则ab=6，
∵S△EFC=（-a）（-b）=ab=3，而S△EFD=×1×6=3，
∴S△EFC=S△EFD；
②∵S△EFC=S△EFD，且两三角形同底，
∴两三角形的高相同，
∴EF∥CD，
∵DF∥AE，BF∥CE，
∴四边形DFEA与四边形FBCE都是平行四边形，
∴CE=BF，∠FDB=∠EAC，
在△DFB与△AEC中，
∵，
∴△DFB≌△AEC，
∴AC=BD，
∵=2，设CD=2k，AB=k，DB=，
∴=，
∵∠DFB=∠AOB，∠DBF=ABO，
∴△DFB∽△AOB，
∴===，
∵DF=1，
∴OA=2，
∵OF=6，
∴OB=4，
∴tan∠OAB==2．
∵OA=2，OB=4，
∴A（-2，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得，
解得：，，
∴C（-3，-2）．

（3）如图2，直线与双曲线过D点（1，6），带入双曲线方程6=，
解得：m=6，
带入直线方程，6=k+b，b=6-k，
所以直线方程变为y=kx+6-k，
∵tan∠OAB=，
∴直线方程的斜率为，即k=，
∴b=，
∴直线方程为y=x+，
∴A的坐标为（-41，0），B（0，），
再将直线方程带入双曲线方程有=x+，解得x=1或-42，
当x=-42，y=-，
过C做平行于x轴的直线，过D做平行于y的直线，两直线相交与M，
∴△AOB∽△CMD，
∴=，
CM=1-（-42）=43，AO=41，所以=．
如图1：∵tan∠OAB=，
∴直线方程的斜率为，即k=-，
∴b=，
∴直线方程为y=-x+，
∴A的坐标为（43，0），B（0，），
再将直线方程带入双曲线方程有=-x+，解得x=1或42，
当x=42，y=，
∵△AOB∽△CPD，
∴=，
CP=42-1=41，AO=43，
∴=．
综上所述：的值为或．