Question

已知：如图，抛物线y=x²-2x+3与y轴交于点A，顶点是点P，过点P作PB⊥x轴于点B．平移该抛物线，使其经过A、B两点．
（1）求平移后抛物线的解析式及其与x轴另一交点C的坐标；
（2）设点D是直线OP上的一个点，如果∠CDP=∠AOP，求出点D的坐标．

Answer

（1）根据抛物线解析式求出点A、B、P的坐标，再根据平移变换不改变抛物线的形状，设平移后的抛物线解析式为y=x2+bx+c，然后把点A、B的坐标代入求出b、c的值，从而得到平移后的抛物线解析式，再令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到点C的坐标；
（2）先求出直线OP的解析式，然后分点D在第一象限时，根据内错角相等两直线平行求出CD1∥y轴可得CD1⊥x轴，从而求出点D的横坐标坐标是3，然后代入直线OP的解析式，计算即可求出点D1的坐标；点D在第三象限时，求出∠CD1P=∠CD2P，根据等角对等边可得CD1=CD2，设D2（x，2x），然后利用勾股定理列式计算求出x的值，即可得解．
【解析】
（1）令x=0，则y=3，
∴点A的坐标为（0，3），
∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴顶点P（1，2）、B（1，0），
设平移后抛物线的解析式为y=x2+bx+c，
将点A（0，3）、B（1，0）的坐标代入得，，
解得，
∴平移后抛物线的解析式为抛物线y=x2-4x+3，
令y=0，则x2-4x+3=0，
解得，x1=1，x2=3，
所以，点C（3，0）；

（2）如图，直线OP过P（1，2），
所以，直线OP解析式为y=2x，
①点D在第一象限时，∵∠CD1P=∠AOP，
∴CD1∥y轴，
∴CD1⊥x轴，
∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，都是3，
x=3时，y=2×3=6，
∴点D1（3，6），
②点D在第三象限时，
∵∠CD1P=∠AOP，∠CD2P=∠AOP，
∴∠CD1P=∠CD2P，
∴CD1=CD2，且CD2=CD1=6，
设D2（x，2x），则=6，
整理得，5x2-6x-27=0，
解得x1=3（为点D1，舍去），x2=-，
所以，点D1（3，6）、D2（-，-）．