Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为1，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+2ax+c经过点A、C，且与x轴的另一个交点为D．
（1）求抛物线对应的函数关系式及D点坐标；
（2）点P在抛物线上，点Q在y轴上，要使以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点R，使|AR-DR|的值最大？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）由正方形的边长为1可知，A（0，-1），C（1，0），将A、C两点坐标代入y=ax2+2ax+c中，可求抛物线解析式，令y=0，可求D点坐标；
（2）由C、D两点坐标可求线段CD长，点Q在y轴上，当以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，PQ=CD，由此可设P点横坐标，代入抛物线解析式可求P点纵坐标；
（3）存在．连接AD与抛物线对称轴交于R点，R点即为所求，根据A、D两点坐标求直线AD解析式，再把抛物线的对称轴代入，可求R点的坐标．
【解析】
（1）依题意，得A（0，-1），C（1，0），
代入y=ax2+2ax+c中，得，解得，
所以，抛物线解析式为y=x2+x-1，令y=0，得x1=1，x2=-3，
所以，D（-3，0）；

（2）由C（1，0），D（-3，0）得CD=4，
由于点Q在y轴上，当以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形时（如图1），
若P点横坐标为-4，代入抛物线解析式，得y=×（-4）2+×（-4）-1=，
若P点横坐标为4，代入抛物线解析式，得y=×42+×4-1==7，
所以，所有满足条件的点P的坐标（-4，），（4，7）；

（3）存在．
连接AD与抛物线对称轴交于R点，此时，|AR-DR|的值最大（如图2），
设直线AD解析式为y=kx+b，将A（0，-1），D（-3，0）代入，得：
，解得，
所以，直线AD解析式为y=-x-1，
当x=-1时，y=-，
即R点坐标为（-1，-）．