Question

如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF．
（1）求证：AE是∠BAC的平分线；
（2）若∠ABD=60°，则AB与EF是否平行？请说明理由．

Answer

（1）连接BE，根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEB=90°，再结合弦切角定理以及等角的余角相等进行证明；
（2）首先根据AC∥BD，得到∠BAC=120°，再根据（1）的结论得到∠BAE=60°，根据圆内接四边形的外角等于它的内对角，则∠DFE=∠BAE=60°，从而根据同位角相等，得到两条直线平行．
（1）证明：连接BE；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∵CD切圆于E，
∴∠AEC=∠ABE，又AC⊥CD．
∴∠CAE=∠BAE．
即AE是∠BAC的平分线．

（2）【解析】
AB∥EF．理由如下：
∵AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，
∴AC∥BD．
∴∠BAC=180°-∠B=120°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE=60°．
∴∠DFE=∠BAE=60°（圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角），
∴∠DFE=∠ABF．
∴AB∥EF．