Question

如图，在△ABC中，∠B=90°AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/秒的速度从A点出发，沿AC向C移动，同时，动点Q以1cm/秒的速度从C点出发，沿CB向B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动，设移动时间为t秒．
（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；
     ②求△CPQ的面积S（cm²）关于时间t（秒）的函数关系式；
（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，直接写出t的值．

Answer

（1）①由勾股定理求出AC=10cm，求出AP=5，CQ=2.5，过P作PD⊥BC于D，根据三角形的中位线求出PD=AB=3cm，根据三角形面积公式求出即可；②过Q作QE⊥AC于E，求出AP=2t，CP=10-2t，根据△CEQ∽△CBA求出QE=t，据三角形面积公式求出即可；
（2）分为三种情况：①当PC=CQ时得出10-2t=t，②当PQ=CQ时，根据cosC==得出=，③当PQ=CP时，根据cosC==得出=，求出即可．
【解析】
（1）①在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得：AC=10cm，
由题意得：AP=2×2.5=5，CQ=2.5，
过P作PD⊥BC于D，
∴PD∥AB，
∵AP=5cm，AC=10cm，
∴P为AC中点，
∴D为BC中点，
∴PD=AB=×6cm=3cm，
∴S△CPQ=CQ•PD=×2.5cm×3cm=3.75cm2；
②过Q作QE⊥AC于E，
由题意得：AP=2t，CP=10-2t，
则∠CEQ=∠B=90°，
∵∠C=∠C，
∴△CEQ∽△CBA，
∴==，
∴QE=t，
∴S△CPQ=•CP•QE=（10-2t）•t，
S=-t2+3t（0＜t＜5）；
（2）分为三种情况：①当PC=CQ时，即10-2t=t，
t=，
当t=秒，△CPQ是等腰三角形．
②当PQ=CQ时，
∵QE⊥CP，
∴PE=CE=•（10-2t）=5-t，
∵cosC==，
∴=，
t=，
∴当t=秒时，△CPQ是等腰三角形，
③当PQ=CP时，
∵PD⊥BC，
∴CD=QD=CQ=t，
∵cosC==，
∴=，
t=
∴当t=秒时，△CPQ是等腰三角形，
即当△CPQ为等腰三角形时，t的值是秒或秒或秒．