Question

已知△ABC中，∠B=45°，AB=，tanC=2，⊙O过点A、C，交BC边于点D．且，求CD的长．

Answer

如图，连接AC，延长AO交BC于点E．根据圆心角、弧、弦间的关系推知△ACD是等腰三角形，由其“三合一”的性质证得AE是CD的中垂线．在直角△AEC中根据勾股定理求得线段CE的长度，进而根据垂径定理来求线段CD的长度．
【解析】
如图，连接AC，延长AO交BC于点E．
∵，
∴AD=AC，
∵点O是等腰△ACD的外心，
∴AE⊥CD，且CD=2CE．
∴在直角△ABE中，∠B=45°，AB=，则AE=4．
∵tanC=2，
∴=2，即AE=2CE，
∴CD=AE=4，即线段CD的长度是4．