Question

如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；
（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？

Answer

（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（3）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入求出即可；
（4）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，代入后根据根的判别式进行判断即可．
【解析】
（1）存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（10-x）=36，
x2-10x+36=0，
△=（-10）2-4×1×36＜0，此方程无解，
∴当BP=时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为；

（2）在BD上存在2个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（12-x）=36，
x2-12x+36=0，
△=（-10）2-4×1×36=0，
此方程的解为x2=x3=6，
∴当BP=或6时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在2个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或6；

（3）在BD上存在3个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
理由是：设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（15-x）=36，
x2-15x+36=0，
△=（-15）2-4×1×36=81，
此方程的解为x2=3，x3=12，
∴当BP=或3或12时，以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴存在3个点P，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，此时BP的值为或3或12；

（4）设BP=x，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴当=或=时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似，
∴①=或②=，
解方程①得：x=，
方程②得：x（l-x）=mn，
x2-lx+mn=0，
△=（-l）2-4×1×mn=l2-4mn，
∴当l2-4mn＜0时，方程②没有实数根，
即当l2-4mn＜0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点；
∵当l2-4mn=0时，方程②有1个实数根，
∴当l2-4mn=0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的两个P点；
∵当l2-4mn＞0时，方程②有2个实数根，
∴当l2-4mn＞0时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的三个P点．