Question

如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S_△FGC=．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer

先求出DE、CE的长，再根据翻折的性质可得AD=AF，EF=DE，∠AFE=∠D=90°，再利用“HL”证明Rt△ABG和Rt△AFG全等，根据全等三角形对应边相等可得BG=FG，再设BG=FG=x，然后表示出EG、CG，在Rt△CEG中，利用勾股定理列出方程求出x=，从而可以判断①正确；根据∠AGB的正切值判断∠AGB≠60°，从而求出∠CGF≠60°，△CGF不是等边三角形，FG≠FC，判断②错误；先求出△CGE的面积，再求出EF：FG，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边长的比求解即可得到△FGC的面积，判断③正确．
【解析】
∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，
∴DE=×3=1，CE=3-1=2，
∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，
∴AB=AF=AD，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
∴BG=FG，
设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，
即（1+x）2=（3-x）2+22，
解得，x=，
∴CG=3-=，
∴BG=CG=，
即点G是BC中点，故①正确；

∵tan∠AGB===2，
∴∠AGB≠60°，
∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，
又∵BG=CG=FG，
∴△CGF不是等边三角形，
∴FG≠FC，故②错误；

△CGE的面积=CG•CE=××2=，
∵EF：FG=1：=2：3，
∴S△FGC=×=，故③正确；
综上所述，正确的结论有①③．
故选B．