Question

如图，在直角坐标系中．Rt△ABC位于第一象限，两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为（2，4），AB=1，BC=2．
（1）求AC边所在直线的解析式；
（2）若反比例函数y=（x＞0）的图象经过点C，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点A是否在该函数的图象上；
（3）若反比例函数y=（x＞0）的图象与△ABC有公共点，请直接写出m的取值范围．

Answer

（1）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），根据两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为（2，4），AB=1，BC=2，可得出点A、C两点的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式；
（2）根据反比例函数y=（x＞0）经过点C（2，2），把C点坐标代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出反比例函数的解析式，把A点坐标代入看是否符合此函数的解析式即可；
（3）根据当反比例函数的图象经过点A、C时m的值最小；当经过点B时m的值最大求出m的取值范围即可．
【解析】
（1）设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵两条直角边AB、BC分别平行于x轴、y轴，顶点B的坐标为（2，4），AB=1，BC=2．
∴点A、C的坐标分别为（1，4）、（2，2），
根据题意，得，
解得，
故所求的一次函数的解析式为y=-2x+6．              

（2）∵y=（x＞0）经过点C（2，2），
∴m=4．
∴所求反比例函数解析式为y=，
∵点A（1，4），当x=1时，y==4，
∴点A在函数y= 的图象上；

（3）∵当反比例函数的图象经过点A、C时m的值最小；当经过点B时m的值最大，
∴当反比例函数的图象经过点A时，4=，解得m=4；
当经过点B时，4=，解得m=8，
故m的取值范围是：4≤m≤8．