Question

如图，在矩形ABCD中，AD=8，AB=6，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作正方形PQEF，使它与矩形ABCD在BC的同侧，点P，Q同时出发，当点P返回点M时停止运动，点Q也随之停止，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）
（1）用含t的代数式表示线段BQ的长；
（2）设正方形PQEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式；
（3）连接AC，当正方形PQEF与△ADC重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．

Answer

（1）求出BM，MQ，即可得出答案；
（2）分为三种情况：①当0＜t≤3时，根据PQ=2t得出S=（2t）2；②当3＜t≤4时，根据PQ=2t，AB=6求出S=12t；③
当4＜t≤8时，根据PC=12-t，ab=6求出S=-6t+72；
（3）当点E在AC上时求出t=，当F在AC上时求出t=，即可得出答案；当点F在BA的延长线上时求出t=4．
【解析】
（1）∵在矩形ABCD中，AD=8，点M是BC的中点，
∴BC=AD=8，BM=4，
∵MQ=t，
∴BQ=t+4；

（2）分为三种情况：①如图1，

当0＜t≤3时，
∵PQ=2t，
∴S=（2t）2，
∴S=4t2；
②如图2，

当3＜t≤4时，
∵PQ=2t，AB=6，
∴S=12t；
③如图3，

当4＜t≤8时，
∵PC=12-t，ab=6，
∴S=-6t+72；
（3）如图4，

当点E在AC上时，
∵△CEQ∽△CAB，
∴=，
∴=，
∴t=，
当F在AC上时，
∵△CPF∽△CBA，
∴=，
∴=，
∴t=，
∴＜t≤；
如图5，

当点F在BA的延长线上时，t=4，
即t的取值范围是＜r≤或t=4．