Question

如图，正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，DE=CF，AF与BE相交于O，DG⊥AF，垂足为G．
（1）求证：BE⊥AF；
（2）若正方形ABCD的边长为4，EH⊥DG，垂足为H，且=，求DE的长．

Answer

（1）根据四边形ABCD为正方形，且DE=CF，得到AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，进而得△ABE≌△DAF，结合角角之间的等量关系可得∠AOB=90°，即可证明出BE⊥AF；
（2）首先判断出四边形EOGH为矩形，进一步得到==，由同角的余角相等得到sin∠EDH=sin∠DFA，在Rt△ADF中，利用=求出AD的长，最后利用勾股定理求出DF的长，即DE的长度可求出．
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且DE=CF，
∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
∵在△ABE和△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
又∵∠DAF+∠BAF=90°，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠AOB=90°，即AF⊥BE；

（2）【解析】
∵EH⊥DG，显然四边形EOGH为矩形，
∴EH=OG，
∴==，
又知∠EDH=∠DFA（同角的余角相等），
∴sin∠EDH=sin∠DFA=，
∴在Rt△ADF中，=，
又∵AD=4，
∴AF=5，
由勾股定理得DF=3，
∴DE=CF=4-3=1．