Question

我们把一个半圆与二次函数图象的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点（半圆与二次函数图象的连接点除外），那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，二次函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点D，AB为半圆直径，半圆圆心为点M，半圆与y轴的正半轴交于点C．
（1）求经过点C的“蛋圆”的切线的表达式；
（2）求经过点D的“蛋圆”的切线的表达式；
（3）已知点E是“蛋圆”上一点（不与点A、点B重合），点E关于x轴的对称点是F，若点F也在“蛋圆”上，求点E的坐标．

Answer

（1）根据题意，先求得C点坐标，然后根据三角形性质求出G点坐标，用待定系数法求出直线EC的解析式；
（2）因为经过点D的“蛋圆”切线过D点，所以本题可设它的解析式为y=kx-3．根据图象可求出抛物线的解析式，因为相切，所以它们的交点只有一个，进而可根据一元二次方程的有关知识解决问题；
（3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，EF与x轴交于点H，连接EM．由HM2+EH2=EM2，点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上，可得方程组，以及对称性求解．
【解析】
（1）由题意得：A（-1，0），B（3，0），D（0，-3），M（1，0）．
∴AM=BM=CM=2，
∴，
∴
∵GC是⊙M的切线，
∴∠GCM=90°
∴cos，
∴，
∴MG=4，
∴G（-3，0），
∴直线GC的表达式为；

（2）设过点D的直线表达式为y=kx-3，
∴
∴x2-（2+k）x=0，或x1=0，x2=2+k△=[-（2+k）]2=0，或x1=x2，
∴k=-2，
∴过点D的“蛋圆”的切线的表达式为y=-2x-3．

（3）假设点E在x轴上方的“蛋圆”上，设E（m，n），则点F的坐标为（m，-n）．
EF与x轴交于点H，连接EM．
∴HM2+EH2=EM2，
∴（m-1）2+n2=4，…①；
∵点F在二次函数y=x2-2x-3的图象上，
∴m2-2m-3=-n，…②
解由①②组成的方程组得：；．（n=0舍去）
由对称性可得：；．
∴，，，．