Question

如图，矩形ABCD内接于⊙O，AB=3AD，对角线AC中点O为圆心，BK⊥AC，垂足为K．DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．
（1）求证：AE=CK；
（2）设AB=y，BK=x，试求y与x的函数关系式；
（3）若DE=6，求⊙O的半径长．

Answer

（1）根据ABCD是矩形，求证△BKC≌△ADE即可；
（2）根据勾股定理求得AC的长，根据三角形的面积公式得出AB×BC=AC×BK，代入即可求得BK．
（3）由（2）中的函数关系式、AC=y求得AC=x．然后利用（1）中的全等三角形的对应边相等推知BK=DE=x，所以把x的值代入即可求得圆O的直径AC的长度．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC=DA，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠DEA=∠BKC=90°，
∴在△DEA与△BKC中，
，
∴△DEA≌△BKC（AAS），
∴AE=CK；

（2）∵在矩形ABCD中，AD=BC，AB=3AD=y，则AB=3BC=y．
∴在直角△ABC中，根据勾股定理得，AC==y．
又∵AB•BC=AC•BK，BK=x，
∴y×=yx，
∴y=x，即y与x的函数关系式是y=x；

（3）∵由（1）知，△DEA≌△BKC，
∴DE=BK=6．
又∵由（2）知，y=x，AC=y，
∴AC=x．
∴当x=6时，AC=×6=2，
∴OA=AC=，即⊙O的半径长是．