Question

如图，已知：在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=BC，又AE⊥BC于E
（1）求证：AD=AE；
（2）若∠B=60°，AD=3，求AC的长．

Answer

（1）首先过点C作CF⊥AB于点F，可得四边形ADCF是矩形，则可得CF=AD，易证得△ABE≌△CBF，即可得AE=CF，即可证得AD=AE；
（2）由AE=AD=3，在Rt△ABE中，∠B=60°，利用三角函数的知识即可求得BE，AB的长，继而求得CE的长，即可得AE是BC的垂直平分线，则可求得AC=AB．
（1）证明：过点C作CF⊥AB于点F，
∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，
∴四边形ADCF是矩形，
∴CF=AD，
在△ABE和△CBF中，
∵，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF，
∴AD=AE；

（2）【解析】
连接AC，
∵AE=AD=3，
在Rt△ABE中，∠B=60°，
∴AB==2，BE==，
∵BC=AB=2，
∴CE=BE=，
∵AE⊥BC，
∴AC=AB=2．