Question

如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，已知CD=AD．
（1）求证：AB=CB；
（2）过点D作出⊙O的切线；（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法）
（3）设过D点⊙O的切线交BC于H，DH=，tanC=3，求⊙O的直径．

Answer

（1）根据垂直平分线的性质即可得出AB=BC；
（2）根据切线的性质，过点D作BC的垂直线或作O、D连线的垂线即可；
（3）根据相似三角形的判定与性质得出，△CHD∽△CDB，=，进而求出即可．
（1）证明：如图1，连结BD．
∵点D在以AB为直径的圆上，
∴AD⊥BD．
又∵CD=BD，
∴AB=AC．

（2）【解析】
如图1所示：
（过点D作BC的垂直线或作O、D连线的垂线）；

（3）【解析】
连结OD，BD．
∵CD=AD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线．∴OD∥BC．
∵过点D的直线与⊙O相切，
∴OD⊥DH．
∵OD∥AC，
∴DH⊥BC．
在Rt△DHC中，
∵DH=，tanC=3，
∴CH=，CD=，
∵∠C=∠C，∠CDH=∠CDB=90°，
∴△CHD∽△CDB，
∴=，
∴=，
解得：BC=5，
即AB=5，
∴⊙O的直径为5．