Question

如图，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12）．动点P、Q分别从O、B两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿射线OA运动，点Q以每秒1个单位的速度沿线段BC运动，当点Q运动到C点时，P、Q同时停止运动，动点P、Q运动时间为t秒．设线段PQ和OB相交于点D，过点D作DE∥OA交AB于点E，射线QE交x轴于点F．
（1）当t为何值时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形？
（2）设以P、A、E、Q为顶点的四边形面积为S，求S关于运动时间t的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形？

Answer

（1）当且仅当PA=QB时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，利用t分别表示出PA和QB的长，即可得到关于t的方程，从而求解；
（2）过点Q作QG⊥xZHOU，垂足是G，过点E作EH⊥x轴，垂足是H，则QG=12．当0≤t≤时，根据S=S△QPF-S△AEF，利用平行线分线段成比例定理表示出AF、EH的长，则可以得到函数解析式；当＜t≤11时，S=S△QAF-S△EPF，类似上面的情况即可写出函数解析式，根据函数解析式的性质即可求得最大值；
（3）当QP=FQ时，则GP=GF，可以得到关于t的方程求得t的值；
当PQ=FP，则PQ2=FP2．在Rt△PGQ中利用勾股定理即可求解；
当FQ=FP时，有FQ2=FP2，在Rt△FGQ中利用勾股定理即可列方程，解方程求解．
【解析】
（1）由已知QB=t（0≤t≤11），OP=3t，则0≤t≤时，PA=13-3t；
当＜t≤11时，PA=3t-13．
∵OA∥BC，
∴当且仅当PA=QB时，以P、A、B、Q为顶点的四边形是平行四边形．
∴13-3t=t或3t-13=t，解得：t=或；

（2）过点Q作QG⊥x轴，垂足是G，过点E作EH⊥x轴，垂足是H，则QG=12．
①当0≤t≤时，S=S△QPF-S△AEF，
∵BC∥OA，DE∥OA，
∴=====．
故===．
∴AF=3QB=3t，EH=QG=×12=9．
∴PF=OA+AF-OP=13+3t-3t=13．
∴S=PF•QG-AF•EH=×13×12-×3t×9=78-13.5t．
②当＜t≤11时，S=S△QAF-S△EPF，
同①，类似有；AF=3t，PF=13，EH=9，
∴S=AF•QG-PF•EH=×3t×12-×13×9=18t-58.5．
由①②得：当t=11时，S=18×11-58.5=139.5是最大值；

（3）①若QP=FQ，则GP=GF，
∵GP=OG-OP=（11-t）-3t=11-4t，
GF=OF-OG=（3t+13）-（11-t）=2+4t，
∴11-4t=2+4t，即t=；
②若PQ=FP，则PQ2=FP2．
在Rt△PGQ中，PQ2=PG2+QG2=（11-t-3t）2+122，
∴（11-4t）2+122=132，解得：t=4或．
③若FQ=FP，则FQ2=FP2，
在Rt△FGQ中，FQ2=FG2+QG2=（13+3t-11-t）2+122，
∴（2+4t）2+122=132，解得：t=或-（舍去）．
综上可知，t=或4或或时，△PQF是等腰三角形．