Question

问题情境：
如图，正方形ABCD的边长为6，点E是射线BC上的一个动点，连结AE并延长，交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B坐在点B′处．
自主探究：
（1）当=1时，如图1，延长AB′，交CD于点M．
     ①CF的长为______；
     ②求证：AM=FM．
（2）当点B′恰好落在对角线AC上时，如图2，此时CF的长为______

Answer

（1）①利用相似三角形的判定与性质得出FC=AB即可得出答案；
②利用翻折变换的性质得出∠BAF=∠MAF，进而得出AM=FM；
（2）根据翻折变换的性质得出∠BAE=∠MAF，进而得出AM=MF，利用△ABE∽FCE得出答案即可；
（3）根据①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，分别利用勾股定理求出即可．
【解析】
（1）①当=1时，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴==1，
∴FC=AB=6，

②证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，
∴∠BAF=∠AFC，
∵△ABE沿直线AE翻折得到△AB′E，
∴∠BAF=∠MAF，
∴∠MAF=∠AFC，
∴AM=FM；

（2）如图2，
∵当点B′恰好落在对角线AC上时，
∴∠1=∠2，
∵AB∥FC，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AC=FC，
∵AB=BC=6，
∴AC=FC=6，
∵AB∥FC，
∴△ABE∽FCE，
∴===，

（3）①如图1，当点E在线段BC上时，延长AB′交DC边于点M，
∵AB∥CF，
∴△ABE∽△FCE，
∴==2，
∵AB=6，
∴CF=3，
∴DF=CD+CF=9，
由（1）知：AM=FM，
∴AM=FM=9-DM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM′=（9-DM）2-62，
解得：DM=，则MA=，
∴sin∠DAB′==，
②如图3，当点E在线段BC的延长线上时，延长AD交B′E于点N，
由（1）知：AN=EN，又BE=B′E=12，
∴NA=NE=12-B′N，
在Rt△AB′N中，由勾股定理得：B′N2=（12-B′N）2-62，
解得：B′N=，
AN=，
∴sin∠DAB′==．
故答案为：6；6，．