Question

九年级数学兴趣小组近期开展了对运动型问题的探究．小明同学提供了一个这样的背景：如图，在▱ABCD中，AB=AC=10cm，sin∠ACB=，动点O从A出发以1cm/s的速度沿AC方向向点C匀速运动，同时线段EF从与线段CB重合的位置出发以1cm/s的速度沿BA方向向点C匀速运动．在运动过程中，EF交AC于点G，连接OE、OF．设运动时间为ts（0＜t＜10），请你解决以下问题：
（1）当t为何值时，点O与点G重合？
（2）当点O与点G不重合时，判断△OEF的形状，并说明理由．             
（3）当0＜t＜5时，
    ①在上述运动过程中，五边形BCEOF的面积是否为定值？如果是，求出五边形BCEOF的面积；如果不是，请说明理由．
    ②△EOG的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据平行线的性质及等腰三角形的性质，可得出CE=CG，用含t的式子表示出CG、AO，再由点O与点G重合时CG+AO=AC=10cm，可得出t的值；
（2）由（1）可知CE=AO，判断四边形BCEF为平行四边形，然后证明△AFO≌△COE，继而可得出结论．
（3）①S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△COE，由（2）知：△AFO≌△COE，S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△AFO=S△ABC，确定△ABC的面积即可；
②判断△ECG∽△FAG，由对应边成比例，可得EG=t，然后求出△EOG的边EG上的高，用含t的式子表示出△EOG的度数，利用配方法求最值即可．
【解析】
（1）在平行四边形ABCD中，DC=AB，DA∥CB，
∵AB=AC，
∴AC=DC，
∴∠CDA=∠CAD，
又∵EF∥CB，
∴DA∥EF，
∴∠CEG=∠CDA，∠CGE=∠CAD，
∴∠CEG=∠CGE，
∴CE=CG，
∴CE=CG=AO=t，
∴当点O与点G重合时，t+t=10，
解得：t=5；

（2）当点O与点G不重合时△OEF为等腰三角形，
理由：由（1）知：CE=AO，平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠OAF=∠OCE，
∵EF∥CB，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴BF=EC=t，
∴AF=OC=10-t，
∴△AFO≌△COE，
∴FO=OE，
∴△OEF为等腰三角形；

（3）①当0＜t＜5时，五边形BCEOF的面积为定值，
S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△COE，
由（2）知：△AFO≌△COE，
∴S五边形BCEOF=S四边形BCOF+S△AFO=S△ABC，
过点A作AH⊥CB于点H，在Rt△AHC中，AH=AC•sin∠ACB=10×=8，
则CH=6，在△ABC中，AB=AC，
∴BC=2CH=12，
∴S五边形BCEOF=S△ABC=×12×8=48（cm3），
②当0＜t＜5时，△EOG的面积存在最大值，
∵EC∥AF，
∴△ECG∽△FAG，
∴=，即=，
∴EG=t，
分别过点G，O作GN⊥CB，OM⊥CB垂足分别为N，M，
∵CG=t，OC=10-t，
在Rt△OGN中，GN=CG•sin∠ACB=t，
在Rt△OCM中，OM=OC•sin∠ACB=（10-t），
∴△EOG的边EG上的高为（10-t）•t=（10-2t），
∴S△EOG=×t×（10-2t）=-（t-）2+6，
∴△EOG的面积的最大值为6cm2．