Question

如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（-6，0），过点E（-2，0）作EF∥AB，交BO于F；
（1）求EF的长；
（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；
①根据上述语句，在图1上画出图形，并证明=；
②过点G作直线GD∥AB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P．如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：=，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；
（3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值．

Answer

（1）利用正方形与平行线的性质，易求线段EF的长度．
（2）①首先依题意画出图形，如答图1所示．证明△OFH∽△BFG，得；由EF∥AB，得．所以；
②由OP=OH，则问题转化为证明=．根据①中的结论，易得=，故问题得证．
（3）本问为探究型问题，利用线段性质（两点之间线段最短）解决．如答图2所示，构造矩形，将2PO+PM转化为NK+PM，由NK+PM≥NK+KM，NK+KM≥MN=8，可得当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．
（1）【解析】
解法一：在正方形OABC中，
∠FOE=∠BOA=∠COA=45°．
∵EF∥AB，
∴∠FEO=∠BAO=90°，
∴∠EFO=∠FOE=45°，
又E（-2，0），
∴EF=EO=2．
解法二：∵A（-6，0），C（0，6），E（-2，0），
∴OA=AB=6，EO=2，
∵EF∥AB，
∴，即，
∴EF=6×=2．

（2）①画图，如答图1所示：

证明：∵四边形OABC是正方形，
∴OH∥BC，
∴△OFH∽△BFG，
∴；
∵EF∥AB，
∴；
∴．
②证明：∵半圆与GD交于点P，
∴OP=OH．
由①得：，
又EO=2，EA=OA-EO=6-2=4，
∴．
通过操作、观察可得，4≤BG≤12．

（3）【解析】
由（2）可得：=，
∴2OP+PM=BG+PM．
如答图2所示，过点M作直线MN⊥AB于点N，交GD于点K，则四边形BNKG为矩形，
∴NK=BG．

∴2OP+PM=BG+PM=NK+PM≥NK+KM，
当点P与点K重合，即当点P在直线MN上时，等号成立．
又∵NK+KM≥MN=8，
当点K在线段MN上时，等号成立．
∴当点P在线段MN上时，2OP+PM的值最小，最小值为8．