Question

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）．
（1）求d的值；
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）过C作CN垂直于x轴，交x轴于点N，由A、B及C的坐标得出OA，OB，CN的长，由∠CAB=90°，根据平角定义得到一对角互余，在直角三角形ACN中，根据两锐角互余，得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AC=BC，利用AAS得到三角形ACN与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得出CN=0A，AN=0B，由AN+OA求出ON的长，再由C在第二象限，可得出d的值；
（2）由第一问求出的C与B的横坐标之差为3，根据平移的性质得到纵坐标不变，故设出C′（m，2），则B′（m+3，1），再设出反比例函数解析式，将C′与B′的坐标代入得到关于k与m的两方程，消去k得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可确定出k的值，得到反比例函数解析式，设直线B′C′的解析式为y=ax+b，将C′与B′的坐标代入，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出直线B′C′的解析式；
（3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：设Q为GC′的中点，令第二问求出的直线B′C′的解析式中x=0求出y的值，确定出G的坐标，再由C′的坐标，利用线段中点坐标公式求出Q的坐标，过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=的图象交于P′点，若四边形P′G M′C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于，作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，由两直线平行得到一对同位角相等，再由一对直角相等及P′Q=QM′，利用AAS可得出△P′EQ与△QFM′全等，根据全等三角形的对应边相等，设EQ=FM′=t，由Q的横坐标-t表示出P′的横坐标，代入反比例函数解析式确定出P′的纵坐标，进而确定出M′的坐标，根据P′H-EH=P′H-QF表示出P′E的长，又P′Q=QM′，分别放在直角三角形中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，进而确定出P′与M′的坐标，此时点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．
【解析】
（1）作CN⊥x轴于点N，
∵A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2），
∴OA=2，OB=1，CN=2，
∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°，
又∵∠CAN+∠ACN=90°，
∴∠BAO=∠ACN，
在Rt△CNA和Rt△AOB中，
∵，
∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS），
∴NC=OA=2，AN=BO=1，
∴NO=NA+AO=3，又点C在第二象限，
∴d=-3；

（2）设反比例函数为y=（k≠0），点C′和B′在该比例函数图象上，
设C′（m，2），则B′（m+3，1），
把点C′和B′的坐标分别代入y=，得k=2m；k=m+3，
∴2m=m+3，
解得：m=3，
则k=6，反比例函数解析式为y=，点C′（3，2），B′（6，1），
设直线C′B′的解析式为y=ax+b（a≠0），
把C′、B′两点坐标代入得：
，
∴解得：；
∴直线C′B′的解析式为y=-x+3；

（3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为：
设Q是G C′的中点，令y=-x+3中x=0，得到y=3，
∴G（0，3），又C′（3，2），
∴Q（，），
过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y=的图象交于P′点，
若四边形P′G M′C′是平行四边形，则有P′Q=Q M′，
易知点M′的横坐标大于，点P′的横坐标小于，
作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F，
∵QF∥P′E，
∴∠M′QF=∠QP′E，
在△P′EQ和△QFM′中，
∵，
∴△P′EQ≌△QFM′（AAS），
∴EQ=FM′，P′Q=QM′，
设EQ=FM′=t，
∴点P′的横坐标x=-t，点P′的纵坐标y=2•yQ=5，点M′的坐标是（+t，0），
∴P′在反比例函数图象上，即5（-t）=6，
解得：t=，
∴P′（，5），M′（，0），
则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．