Question

如图，点P是双曲线（x＞0）上一点，以点P为圆心，2为半径的圆与直线y=x的交点为A、B．
（1）当⊙P与x轴和y轴都相切时，求点P的坐标及双曲线的函数表达式；
（2）若点P在双曲线（x＞0）上运动，当弦AB的长等于时，求点P的坐标．

Answer

（1）根据已知得出点P到x轴和y轴的距离都是2，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据当点P在直线l上方时，以及点P在直线l下方时，分别得出P点坐标即可．
【解析】
（1）∵⊙P与x轴和y轴都相切，半径为2，
∴点P到x轴和y轴的距离都是2，
∴点P（2，2），
∴2=，
∴k=4，
∴双曲线的函数表达式为：y=．

（2）设点P（m，n），
当点P在直线l上方时，
如图1，作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D，PD与AB交于点E，连结PB，
∴C是AB中点，
∴BC=，
∴PC===1，
∵点E在直线y=x上，
∴OD=ED=m，
∴∠OED=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PE=PC=，
∴n=PD=DE+PE=m+，
∵点P在双曲线y=上，
∴mn=4，
∴m（m+）=4，
解得：m1=，m2=-2，
∵点P在第一象限，
∴m=，
∴n=2，
∴点P（，2），
设点P（m，n），
点P在直线l下方时，
如图2，作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D，PD与AB交于点E，连结PA，
∴C是AB中点，
∴AC=，
∴PC===1，
∵点E在直线y=x上，
∴OD=ED=m，
∴∠OED=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PE=PC=，
∴n=PD=DE-PE=m-，
∵点P在双曲线y=上，
∴mn=4，
∴m（m-）=4，
解得：m1=-，m2=2，
∵点P在第一象限，
∴m=2，
∴n=，
∴点P（2，），
∴综上所述，点P的坐标为（，2）或（2，）．