Question

如图，已知直线y=x与抛物线交于A、B两点．
（1）求交点A、B的坐标；
（2）记一次函数y=x的函数值为y₁，二次函数的函数值为y₂．若y₁＞y₂，求x的取值范围；
（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点P的坐标．

Answer

（1）根据题意可以列出关于x、y的方程组，通过解方程组可以求得点A、B的坐标；
（2）根据函数图象可以直接回答问题；
（3）需要分类讨论：以AB为腰和以AB为底的等腰三角形．
【解析】
（1）如图，∵直线y=x与抛物线交于A、B两点，
∴，
解得，或，
∴A（0，0），B（2，2）；

（2）由（1）知，A（0，0），B（2，2）．
∵一次函数y=x的函数值为y1，二次函数的函数值为y2．
∴当y1＞y2时，根据图象可知x的取值范围是：0＜x＜2；

（3）该抛物线上存在4个点，使得每个点与AB构成的三角形为等腰三角形．理由如下：
∵A（0，0），B（2，2），
∴AB=2．
根据题意，可设P（x，x2）．
①当PA=PB时，点P是线段AB的中垂线与抛物线的交点．
易求线段AB的中垂线的解析式为y=-x+2，
则，
解得，，，
∴P1（--1，3+），P2（-1，3-）；
②当PA=AB时，根据抛物线的对称性知，点P与点B关于y轴对称，即P3（-2，2）；
③当AB=PB时，点P4的位置如图所示．
综上所述，符号条件的点P有4个，其中P1（--1，3+），P2（-1，3-），P3（-2，2）．