Question

等腰△ABC中，AB=BC，点D在BC上，射线BM交AD于点E，∠BAD=∠FBC，点F在射线BM上，且∠BFC=∠ADC．
（1）当F点与E点重合时（如图1），求证：BD=CF；
（2）当∠BFC=60时（如图2），S_△ABD：S_△BCF=5：8，△BCF的周长和△ABD的周长之差为3，D点关于过E的某条直线对称点G，恰好落在射线BM上，连接GC，求线段GC的长度．

Answer

（1）在BF上取点H，使BH=AD，利用全等三角形的判定得出△ABD≌△BCH，进而得出BD=CH，∠ADB=∠BHC，求出∠ADC=∠FHR=∠BFC，即可得出答案；
（2）首先利用S△ABD：S△BCF=5：8，得出BF：AD=5：8，进而利用△BCF的周长和△ABD的周长之差为3得出FH=3，进而由△ABD∽△BED，得出BE，DE的长，利用对称性得出BG，EG的长，即可得出FQ，QG，以及GC的长．
（1）证明：在BF上取点H，使BH=AD，
∵在△ABD和△BCH中：

∴△ABD≌△BCH（SAS），
∴BD=CH，∠ADB=∠BHC，
∵等角的补角相等，
∴∠ADC=∠FHR=∠BFC，
∴FC=CH=BD，

（2）【解析】
∵AB=BC，∠BAD=∠FBC，
∴由题意可得出，C到BF的距离等于B到AD的距离，
∵S△ABD：S△BCF=5：8，
∴BF：AD=5：8，
即BF：BH=5：8，FH：BH=3：5，
∵AB=BC，BD=CF，AD=BH，△BCF的周长和△ABD的周长差为3，
∴FH=3，
∴BH=AD=5，BF=8，
当∠ADC=60°时，△FCH是等边三角形，
∴FC=FH=HC=BD=3，
过点B作CF⊥BF交延长线于P，
∴FP=BF=4，CP=PF-FC=1，
∴BP=4，
∴BC==7=AB，
由△ABD∽△BED，
∴DE：BD=BD：AD=BE：AB，
∴==
解得：DE=1.8，BE=4.2，
由D、G关于过E点直线对称，得EG=DE=1.8，BG=BE+EG=6，
作GQ⊥CF于Q，
∵∠BFC=60°，FG=2，
∴FQ=1，QG=
∴GC===．