Question

在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），直线CM∥x轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y=x+b（b为常数）经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的圆P与圆O外切，求圆O的半径．

Answer

（1）先求出点B的坐标，由直线过点B，把点B的坐标代入解析式，可求得b的值；点D在直线CM上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可；
（2）△POD为等腰三角形，有三种情况：PO=OD，PO=PD，DO=DP，故需分情况讨论，要求点P的坐标，只要求出点P到原点O的距离即可；
（3）结合（2），可知⊙O的半径也需根据点P的不同位置进行分类讨论．
【解析】
（1）∵B与A（1，0）关于原点对称
∴B（-1，0）
∵y=x+b过点B
∴-1+b=0，b=1
∴y=x+1
当y=4时，x+1=4，x=3
∴D（3，4）；

（2）作DE⊥x轴于点E，则OE=3，DE=4，
∴OD=．
若△POD为等腰三角形，则有以下三种情况：
①以O为圆心，OD为半径作弧交x轴的正半轴于点P1，则OP1=OD=5，
∴P1（5，0）．
②以D为圆心，DO为半径作弧交x轴的正半轴于点P2，则DP2=DO=5，
∵DE⊥OP2
∴P2E=OE=3，
∴OP2=6，
∴P2（6，0）．
③取OD的中点N，过N作OD的垂线交x轴的正半轴于点P3，则OP3=DP3，
易知△ONP3∽△DCO．
∴=．
∴=，OP3=．
∴P3（，0）．
综上所述，符合条件的点P有三个，分别是P1（5，0），P2（6，0），P3（，0）．

（3）①当P1（5，0）时，P1E=OP1-OE=5-3=2，OP1=5，
∴P1D===2．
∴⊙P的半径为．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为5-2．
②当P2（6，0）时，P2D=DO=5，OP2=6，
∴⊙P的半径为5．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为1．
③当P3（，0）时，P3D=OP3=，
∴⊙P的半径为．
∵⊙O与⊙P外切，
∴⊙O的半径为0，即此圆不存在．