Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2），连接AC、BC．
（1）求抛物线解析式；
（2）BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；
（3）若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．

Answer

（1）将A（1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点坐标代入抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）中，列方程组求a、b、c的值即可；
（2）如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．可得△BMF∽△BCO，根据相似三角形的性质，垂直平分线的性质和勾股定理可求直线DE上两点M、N的坐标，再根据待定系数法可求直线DE的解析式；
（3）①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G（，2），以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称，⊙N交抛物线对称轴于点P2，从而确定P点坐标．
【解析】
（1）由题意，得：              
解得：．                        
故这个抛物线的解析式为y=x2-x+2．     

（2）解法一：
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．
∴△BMF∽△BCO，
∴===．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1）…（5分）
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，
∴（4-x）2=22+x2，
解得：x=，
∴N（，0）．     
设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：
，
解得：．
∴直线DE的解析式为y=2x-3．              
解法二：
如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，CM=BM．
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，
∴（4-x）2=22+x2，
解得：x=，
∴N（，0）．     
∴BN=4-=．
∵CF∥x轴，
∴∠CFM=∠BNM．
∵∠CMF=∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=BN．
∴F（，2）．                             
设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：
，
解得：．
∴直线DE的解析式为y=2x-3．   

（3）由（1）得抛物线解析式为y=x2-x+2，
∴它的对称轴为直线x=．
①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G（，2），
以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，
则∠CP1B=∠CAB．                 
GA=，
∴点P1的坐标为（，-）．             
②如图4，由（2）得：BN=，
∴BN=BG，
∴G、N关于直线BC对称．           
∴以N为圆心，NB长为半径的⊙N与⊙G关于直线BC对称．    
⊙N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B=∠CAB．               
设对称轴与x轴交于点H，则NH=-=1．
∴HP2==，
∴点P2的坐标为（，）．
综上所述，当P点的坐标为（，-）或（，）时，∠CPB=∠CAB．