Question

如图，在R t△AOB中，已知AO=6，BO=8，点E从A点出发，向O点移动，同时点F从O点出发沿OB-BA向点A移动，点E的速度为每秒1个单位，点F的速度为每秒3个单位，当其中一点到达终点时，另一点随即停止移动．设移动时间为x秒：
（1）当x=2时，求△AEF的面积；
（2）当EF∥BO时，求x的值；
（3）设△AEF的面积为y，求出y关于x的函数关系式．

Answer

（1）根据点E、F的运动速度求得2秒后△AEF的两直角边AE=2，OF=6，所以由三角形的面积公式即可求得△AEF的面积；
（2）当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，则由相似三角形的对应边成比例列出关于x的方程，通过解方程可以求得x的值；
（3）分段讨论：①当点F在OB边上运动时，△AEF的面积=AE•OF；②当点F在边AB上运动时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，由平行线分线段成比例求得FH=．则△AEF的面积=AE•FH．
【解析】
（1）当x=2时，AE=2，OF=6，则S△AEF=AE•OF=×2×6=6，即△AEF的面积是6；

（2）∵在Rt△AOB中，AO=6，BO=8，
∴根据勾股定理得，AB==10．
当EF∥BO时，△AEF∽△ABO，
∴，解得；

（3）当F与B重合时，，∴分两段讨论：
①0＜x≤时，F在OB上移动，；
②＜x≤6时，过F作OA的垂线FH，则FH∥OB，
则即，
∴FH=
∴=．