Question

根据题意，解答下列问题：

（1）如图①，已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）如图②，类比（1）的求解过程，请你通过构造直角三角形的方法，求出两点M（3，4），N（-2，-1）之间的距离；
（3）如图③，P₁（x₁，y₁），P₂（x₁，y₂）是平面直角坐标系内的两点．求证：．

Answer

（1）根据直线y=2x+4与x轴、y轴交点的特点：与x轴相交时，y=0，求得x的值；与y轴相交时，x=0，求得y的值；
（2）、（3）通过构造直角三角形的方法，解得MN与P1P2的值．
（1）【解析】
由y=0，得x=-2，所以点A的坐标为（-2，0），故OA=2．（1分）
同理可得OB=4． （2分）
所以在Rt△AOB中，AB=；（3分）

（2）【解析】
作MP⊥x轴，NP⊥y轴，MP交NP于点P．（4分）
则MP⊥NP，P点坐标为（3，-1）．（5分）
故PM=4-（-1）=5，PN=3-（-2）=5．（6分）
所以在Rt△MPN中，MN=；（7分）
（注：若直接运用了（3）的结论不得分．）

（3）证明：作P2P⊥x轴，P1P⊥y轴，P2P交P1P于点P．
则P2P⊥P1P，点P的坐标为（x2，y1）．（8分）
故P2P=y2-y1，P1P=x2-x1．（不加绝对值符号此处不扣分）（9分）
所以在Rt△P2P1P中，．（10分