Question

如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的一个动点，过点P作PG⊥AB′于点G，作PH⊥DC于点H，试判断PG+PH的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

Answer

（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定得出△CEB′≌△AED（AAS）．
（2）①当点P不与点A、C重合时，②当点P与点A重合时，点G与点A重合，点H与点D重合，
③当点P与点C重合时，点G与点B′重合，点H与点C重合．
（1）△CEB′≌△AED．
证明：由折叠和四边形ABCD为矩形可得：
AD=B′C，∠D=∠B′=90°，
在△CEB′和△AED中，
，
∴△CEB′≌△AED（AAS）．

（2）PG+PH的值是定值．
①当点P不与点A、C重合时，
延长HP交AB于点M，则PM⊥AB．
∵∠EAC=∠CAB，PG⊥AB′于点G，
∴PG=PM．
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD．
∵∠EAC=∠CAB，∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA．
∴AE=EC=DC-DE=AB-DE=8-3=5．
在Rt△ADE中，AD=．
∴PG+PH=AD=4．
②当点P与点A重合时，点G与点A重合，点H与点D重合，
∴PG+PH=0+AD=4．
③当点P与点C重合时，点G与点B′重合，点H与点C重合，
∴PG+PH=B′C=BC=AD=4．
综上说述，PG+PH的值是定值，且PG+PH=4．