Question

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，已 知A（2，0）、C（1，），将△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线经过点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断点B是否在抛物线上；
（3）若点P是线段OA上的点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；
（4）若点P是x轴上的点，以P、A、D为平行四边形的三个顶点作平行四边形，使该平行四边形的另一个顶点在y轴上，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1）将A点的坐标代入y=ax2-2x，即可得出抛物线的解析式；
（2）先根据旋转的性质得出四边形OABC是平行四边形，OA=2，因此将C点向右平移2个单位即可得出B点的坐标，然后将B点的坐标代入抛物线的解析式中即可判断出B是否在抛物线上；
（3）先根据二次函数的性质求出顶点D的坐标，然后求出OB、AD的长，当∠APD=∠OAB时，可得出△APD∽△OAB，进而可得出关于AP，AD、OA、OB的比例关系式．设出P点的坐标，然后用P的横坐标表示出AP的长，即可根据上面的比例关系式求出P点的坐标；
（4）根据平行四边形的性质，分别以AP，AD，DP为对角线分三种情况进行分析即可求得答案．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2-2x经过点A（2，0），
∴4a-4=0，
解得a=，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x；

（2）∵将△OAC绕AC的中点旋转180°，点O落到点B的位置，
∴△ACO≌△CAB，
∴AO=CB，CO=AB，
∴四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，且BC=OA．
∵A（2，0）、C（1，），
∴xB=xC+2=3，yB=yC=3，
∴B（3，3）．
将B（3，3）代入y=x2-2x，等式成立，
∴点B在抛物线上；

（3）分别过点B、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F，
由y=x2-2x，可求得顶点D的坐标为（1，-），
∵B（3，3），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，
tan∠BOE=，
tan∠DAF=，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
又∵∠APD=∠OAB，
∴△APD∽△OAB，
∴．
∵OA=2，，，
∴，
∴，
∴P（，0）；

（4）设以P、A、D为平行四边形的第四个顶点为Q，分三种情况进行讨论：

①如图1，以DP为对角线，此时QD=AP=1，因此OP=OA-AP=2-1=1，P点的坐标为（1，0）；
②如图2，以AD为对角线，此时QD=AP=1，因此OP=OA+AP=2+1=3，P点的坐标为（3，0）；
③如图3，以AP为对角线，此时D，Q两点的纵坐标互为相反数，因此Q点的坐标为（0，），由于AD与PQ平行且相等，将A点先向左平移1个单位，再向下平移个单位得到点D，所以将Q点先向左平移1个单位，再向下平移个单位得到点P，P点的坐标为（0-1，-），即（-1，0）．
因此共有3个符合条件的P点，其坐标为：（-1，0）或（1，0）或（3，0）．