Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点E，交⊙O于点F，连接BF，CF，∠D=∠BFC．
（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=8，tanB=，求AD的长．

Answer

（1）根据OD⊥AC，得到∠1+∠2=90°，再用同弧所对的圆周角相等得到∠1=∠BFC，然后等量代换得到∠OAD=90°，证明AD是⊙O的切线．（2）根据垂径定理求出AE的长，由同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠B，求出EF的长，然后在直角△OAE中利用勾股定理求出圆的半径OA的长，再在直角△OAD中用三角函数求出AD的长．
（1）证明：∵OD⊥AC于点E，
∴∠OEA=90°，∠1+∠2=90°．
∵∠D=∠BFC，∠BFC=∠1，
∴∠D+∠2=90°，∠OAD=90°．
∴OA⊥AD于点A．
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线．

（2）【解析】
∵OD⊥AC于点E，AC是⊙O的弦，AC=8，
∴
∵∠B=∠C，tanB=，
∴在Rt△CEF中，∠CEF=90°，tanC=．
∴EF=EC•tanC=2．
设⊙O的半径为r，则OE=r-2．
在Rt△OAE中，由勾股定理得OA2=OE2+AE2，即r2=（r-2）2+42．
解得r=5．
∴在Rt△OAE中，．
∴在Rt△OAD中，．