Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（经过原点）与x轴相交于N点，直线y=kx+4与坐标轴分别相交于A、D两点，与抛物线相交于B（1，m）和C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的表达式；
（2）求证：C点是△AOD的外心；
（3）若（1）中的抛物线，在x轴上方的部分，有一动点P（x，y），设∠PON=α．当sinα为何值时，△PON的面积有最大值？
（4）若P点保持（3）中运动路线，是否存在△PON，使得其面积等于△OCN面积的？若存在，求出动点P的位置；若不存在，请说出理由．

Answer

（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过原点，可得其表达式可以写成y=ax2+bx，又由直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，利用待定系数法即可求得直线的表达式与点B与C的坐标，继而求得抛物线的表达式；
（2）由（1）中直线的解析式，求得A与D的坐标，可得AC=CD=OC=AD，即可得C点是△AOD的外心；
（3）通过分析可得P为顶点时，S△OPN面积最大．求得顶点的坐标，根据正弦函数的定义，即可求得sinα的值；
（4）首先过点P作PE⊥x轴于N点，设点P的坐标为（x，-2x2+5x），即可表示出△PON的面积，然后求得△OCN的面积，由△PON的面积等于△OCN面积的，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点，
∴其表达式可以写成y=ax2+bx．
∵直线y=kx+4与抛物线相交于B、C两点，把两点的坐标代入y=kx+4，得：
，
解得：，
∴直线是：y=-x+4，
点B（1，3），C（2，2）代入二次函数的表达式，得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=-2x2+5x．

（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD==4．而OC=2，
∴OC=AD．
∴C是Rt△AOD的外心．

（3）通过分析知道，P为顶点时，S△OPN面积最大．
此时，P（，），
又∵方程-2x2+5x=0的两根是x1=0，x2=，即ON=．
∴OP=．
∴sinα=，此时△PON有最大面积（底是相同的）．

（4）存在．
理由：过点P作PE⊥x轴于N点，
设点P的坐标为（x，-2x2+5x），
∴S△OCN=ON•PD=××（-2x2+5x）=（-2x2+5x），
∵S△OCN=ON×2×=ON=，
又∵△PON的面积等于△OCN面积的，
∴（-2x2+5x）=×，
解得：x1=，x2=，
∴当x=时，y=，
当x=时，y=，
∴点P的坐标为（，）或（，）．