Question

如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P为BC的中点．动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．
（1）试说明圆心O的位置．
（2）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；
（3）若⊙P与⊙O相切，求t的值．

Answer

（1）根据直角三角形的性质以及圆周角定理得出圆心O的位置为线段AB的中点；
（2）首先根据勾股定理得出AB的长，再利用△PBD∽△ABC，得出，求出PD的长；即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，得出答案即可；
（3）根据点P在⊙O内部，得出⊙P与⊙O只能内切，进而利用半径与圆心距之间的关系求出即可．
【解析】
（1）如图1，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB是△ABC外接圆直径，
∴圆心O的位置为线段AB的中点．

（2）直线AB与⊙P相切．
如图2，过点P作PD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
∵AC=6cm，BC=8cm 
∴AB==10（cm），
∵P为BC的中点
∴PB=4cm．
∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC
∴△PBD∽△ABC．
∴，即
∴PD=2.4（cm）．
当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm）
∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径．
∴直线AB与⊙P相切．

（3）∵∠ACB=90°，
∴AB为△ABC的外切圆的直径．
∴OB=AB=5（cm）．
如图3，连接OP，
∵P为BC的中点，O为BA的中点，
∴OP=AC=3（cm）．
∵点P在⊙O内部，
∴⊙P与⊙O只能内切．
∴5-2t=3或2t-5=3，
∴t=1或4．
∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．