Question

在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），顶点为B．艾思轲同学用一把宽3cm的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA=3cm，（2）当把直尺的左边与抛物线的对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点C的刻度读数为4.5cm．
艾思轲同学将A的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：
（1）写出抛物线的对称轴；
（2）求出该抛物线的解析式；
（3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD周长最小的点D；
（4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点A的右边（如图2），直尺的两边交x轴于点H，G，交抛物线于E，F，探究梯形EFGH的面积S与线段EF的长度是否存在函数关系．
同学：如上述（3）（4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（4）结论不存在，请你告诉艾思轲同学结论不存在的理由．

Answer

（1）由抛物线过原点O及A点（3，0），根据抛物线的对称性，由中点坐标公式，即可求出抛物线的对称轴为直线x=，即x=；
（2）先由抛物线的对称轴为直线x=，设抛物线的解析式为顶点式y=a（x-）2+k，则顶点B的坐标为（，k），再将x=代入，求出点C的纵坐标为9a+k，根据MC=4.5，求出a=，然后将A点坐标（3，0）代入y=（x-）2+k，求出k=-，得到抛物线的解析式为y=（x-）2-，即y=x2-x；
（3）由于O、A两点关于抛物线的对称轴对称，所以连接OC，交抛物线的对称轴于点D，则△ACD的周长最小．先运用待定系数法求出直线OC的解析式，再将x=代入，求出y的值，即可得到D点坐标；
（4）先用含a的代数式分别表示E，H，F，G四点的坐标，得到EH与FG的长度，再根据梯形的面积公式求出S=a2，再运用两点之间的距离公式求出EF=3，则=-1，整理后得出S=EF2-，即S是EF长度的二次函数．
【解析】
（1）∵抛物线过原点O，且与x轴交于另一点A（A在O右侧），OA=3，
∴A点坐标为（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=；

（2）∵抛物线的对称轴为直线x=，
∴可设抛物线的解析式为y=a（x-）2+k，
∴顶点B的坐标为（，k）．
如图1，∵点C的横坐标为：ON=+3=，点C在抛物线y=a（x-）2+k上，
∴点C的纵坐标为a（-）2+k=9a+k．
∵MC=4.5，
∴9a+k-k=4.5，
∴a=，
将A点坐标（3，0）代入y=（x-）2+k，
得（3-）2+k=0，解得k=-，
∴抛物线的解析式为y=（x-）2-，即y=x2-x；

（3）抛物线的对称轴上存在使△ACD周长最小的点D，理由如下：
如图1，连接OC，交抛物线的对称轴于点D，则△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+OD+CD=AC+OC最小．
设直线OC的解析式为y=mx，将点C的坐标（，）代入，
得m=，解得m=，
即直线OC的解析式为y=x，
当x=时，y=×=．
故所求D点坐标为（，）；

（4）梯形EFGH的面积S与线段EF的长度存在函数关系，理由如下：
如图2，设点E横坐标为a，则E点坐标为（a，a2-a），H点坐标为（a，0），
点F横坐标为a+3，F点坐标为（a+3，（a+3）2-（a+3）），G点坐标为（a+3，0），
∵梯形EFGH的面积S=（EH+FG）•HG=[（a2-a）+（a+3）2-（a+3）]×3=a2，
又∵（a+3）2-（a+3）-（a2-a）=3a，EF==3，
∴=-1，
∴S=EF2-，即S是EF长度的二次函数．