Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将一个直角三角板的直角顶点P放在射线OM上，OP=m（m为常数且m≠0），移动直角三角板，两边分别交射线OA，OB与点C，D
（1）如图，当点C、D都不与点O重合时，求证：PC=PD；
（2）联结CD，交OM于E，设CD=x，PE=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）如图，若三角板的一条直角边与射线OB交于点D，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，F，且△PDF与△OCD相似，求OD的长．

Answer

（1）作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，根据角平分线的性质可得PM=PG，根据ASA可证△PCM≌△PDN，根据全等三角形的性质可得PC=PD；
（2）根据AA可证△PDE∽△POD，根据相似三角形的性质，等腰直角三角形的性质即可得到y与x之间的函数关系式；
（3）分①点C在AO上，根据相似三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可求得OD的长；②点C在AO的延长线上，△PDF与△OCD相似只能是∠1=∠2，根据等腰直角三角形的性质可得∠BDC=45°，然后求出∠1=22.5°，过点P作PG⊥OM交OD于G，根据等腰直角三角形的性质求出OG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3=22.5°，从而得到∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得PG=DG=m，然后根据OD=OG+DG计算即可得解．
（1）证明：作PH⊥OA于H，PN⊥OB于N，
则∠PHC=∠PND=90°，
则∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN，∠POB=45°，
∵在△PCH与△PDN中，
，
∴△PCH≌△PDN（ASA）
∴PC=PD；

（2）【解析】
∵PC=PD，
∴∠PDC=45°，
∴∠POB=∠PDC，
∵∠DPE=∠OPD，
∴△PDE∽△POD，
∴PE：PD=PD：PO，
又∵PD2=CD2，
∴PE=x2，即y与x之间的函数关系式为y=x2；

（3）①如图1，点C在AO上时，∵∠PDF＞∠CDO，
令△PDF∽△OCD，
∴∠DFP=∠CDO，
∴CF=CD，
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=DF=OP=m；
②如图2，点C在AO的延长线上时，
△PDF与△OCD相似，若∠2=∠PFD，则PC∥CD，与PC、DC相交于点C矛盾，
所以，只能是∠1=∠2，
由（1）可知PC=PD，
∴△PCD是等腰直角三角形，
∴∠1+∠2=45°，
∴∠1=22.5°，
过点P作PG⊥OM交OD于G，
∵∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，
∴△POG是等腰直角三角形，
∴OG=OP=m，
PG=OP=m，
∵∠1+∠3=∠PGO=45°，
∴∠3=22.5°，
∴∠1=∠3，
∴PG=DG=m，
∴OD=OG+DG=m+m=（+1）m，
综上所述，OD的长为：m或（+1）m．