Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-1）三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若该抛物线的顶点为D，求直线AD的解析式；
（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．

Answer

（1）已知抛物线图象上不同的三点坐标，利用待定系数法能求出抛物线的解析式．
（2）将（1）的抛物线解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标，点A的坐标已知，利用待定系数法即可求出直线AD的解析式．
（3）题目给出的四边形四顶点排序没有明确，因此要分两种情况讨论：
①线段AB为平行四边形的边；那么点Q向左或向右平移AB长个单位就能得到点P的坐标，点Q的横坐标是确定的，那么点P的坐标就能确定出来，而点P恰好在抛物线的图象上，代入抛物线的解析式即可求出点P的坐标；
②线段AB为对角线；那么点Q、P关于AB的中点对称（平行四边形是中心对称图形），思路同①，首先确定点P的横坐标，再代入抛物线的解析式中确定其具体的坐标值．
【解析】
（1）由题意，知：抛物线与x轴的交点为A（-1，0）、B（3，0），
可设其解析式为：y=a（x+1）（x-3），代入点C的坐标，得：
-1=a（0+1）（0-3），
解得：a=
故抛物线的解析式：y=（x+1）（x-3）=x2-x-1．

（2）由（1）知，抛物线的解析式：y=x2-x-1=（x-1）2-；
∴D（1，-）；
设直线AD的解析式为：y=kx+b，代入A（-1，0）、D（1，-），得：
，解得
故直线AD的解析式：y=-x-．

（3）设点Q的坐标为（0，y），分两种情况讨论：
①线段AB为平行四边形的边，则QP∥x轴，且QP=AB=4，有：
1、将点Q向左平移4个单位，则P1（-4，y），代入抛物线的解析式，得：
y=（-4+1）（-4-3）=7，
即：P1（-4，7）；
2、将点Q向右平移4个单位，则P2（4，y），代入抛物线的解析式，得：
y=（4+1）（4-3）=，
即：P2（4，）；
②线段AB为平行四边形的对角线，则Q、P关于AB的中点对称，即P3（2，-y），代入抛物线的解析式，得：
-y=（2+1）（2-3）=-1，
即：P3（2，-1）；
综上，满足条件的点P的坐标为（-4，7）、（4，）、（2，-1）．