Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

Answer

（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析．
（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长．
【解析】
（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得

解这个方程组，得a=-，b=1，c=0
所以解析式为y=-x2+x．

（2）由y=-x2+x=-（x-1）2+，可得
抛物线的对称轴为直线x=1，并且对称轴垂直平分线段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，AB===4，
因此OM+AM最小值为．