Question

如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．
（1）求b的值；
（2）求证：点（y₁，y₂）在反比例函数的图象上；
（3）求证：x₁•OB+y₂•OA=0．

Answer

（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=-，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；
（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2-（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2-（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；
（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，由（2）得y1•y2=64，又易得x1•x2=-64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1•OB+y2•OA=0．
（1）【解析】
∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，
∴令x=0，得y=b；令y=0，x=-，
∴△OCD的面积S=（-）•b=-．
∵kS+32=0，
∴k（-）+32=0，
解得b=±8，
∵b＞0，
∴b=8；

（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，
将x=代入y=x2，得y=（）2，
整理，得y2-（16+8k2）y+64=0．
∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴y1，y2是方程y2-（16+8k2）y+64=0的两个根，
∴y1•y2=64，
∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；

（3）证明：由勾股定理，得
OA2=+，OB2=+，AB2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，
由（2）得y1•y2=64，
同理，将y=kx+8代入y=x2，
得kx+8=x2，即x2-8kx-64=0，
∴x1•x2=-64，
∴AB2=+++-2x1•x2-2y1•y2=+++，
又∵OA2+OB2=+++，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．
如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=90°-∠BOF=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴=，
∵OE=-x1，BF=y2，
∴=，
∴x1•OB+y2•OA=0．