Question

如图l，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点D，顶点的坐标为（2，4）．直角三角形ABC的顶点A与点O重合，AC，AB分别在x轴，y轴上，且AC=3，AB=4．
（1）直线BC的解析式为______；
（2）求该抛物线的函数关系式；
（3）将直角三角形ABC以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤2），AB边与该抛物线的交点为Q（如图2所示）．
①设△CPQ的面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
②直接写出直线BC与抛物线有唯一的公共点时t的值．

Answer

（1）首先求出B，C点坐标，再求直线BC的解析式；
（2）根据顶点式直接求出抛物线解析式即可；
（3）①根据题意得出P，Q点坐标，进而得出PQ的长，即可得出△CPQ的面积，再利用配方法得出最值；
②根据当直线BC与抛物线有唯一的公共点时，设此时直线解析式为：y=x+d，得出x+d=-x2+4x整理后方程为：x2-x+d=0此时方程有两个相等的实数根，
进而得出d的值，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出移动距离．
【解析】
（1）∵直角三角形ABC的顶点A与点O重合，AC，AB分别在x轴，y轴上，且AC=3，AB=4，
∴C，B坐标分别为：C（-3，0），B（0，4），
设BC直线解析式为：y=ax+b则：
，
解得：，
∴y=x+4；
故答案为：y=x+4；

（2）∵抛物线的顶点坐标为（2，4），
∴设抛物线解析式为：y=a（x-2）2+4，
∵抛物线过原点，
∴0=4a+4，
解得：a=-1，
∴该抛物线的解析式为：y=-（x-2）2+4，即y=-x2+4x；

（3）①由题意得出点P的坐标为：（t，t），点Q的坐标为：（t，-t2+4t），
∴PQ=-t2+4t-t=-t2+3t，
∴△CPQ的面积为
S=PQ•AC
=×3×（-t2+3t）
=-（t2-3t）
=-（t-）2+
∴S存在最大值，最大值是．

②当直线BC与抛物线有唯一的公共点时，
设此时直线解析式为：y=x+d，
∴x+d=-x2+4x整理后方程为：x2-x+d=0此时方程有两个相等的实数根，
∴b2-4ac=-4×1×d=0，
解得：d=，
∴此时BC所在直线解析式为：y=x+，
∴y=0时，x=-，
∴C点从（-3，0）到（-，0）移动了个单位长度，
∴直线BC与抛物线有唯一的公共点时t的值为：．