Question

如图，已知直线l₁的解析式为y=3x+6，直线l₁与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线l₂经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l₂从点C向点B移动．点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1＜t＜10）．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）设△PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式；
（3）对于（2）中的△PCQ的面积S是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（4）试探究：当t 为何值时，△PCQ为等腰三角形．

Answer

（1）因为l1过点B，所以代入直线l1的解析式求得点B的坐标，又因为直线l2经过B，C两点，所以将点B、C的坐标代入直线y=kx+b，列方程组即可求得；
（2）过点P作PD⊥l2于D，利用△PDC∽△BOC得到比例式即可求得S与t的取值范围．
（3）要想使△PCQ为等腰三角形，需满足CP=CQ，或QC=QP，或PC=PQ．
【解析】
（1）由题意知：B（0，6）C（8，0）．
设直线l2的解析式为y=kx+b，则

解得k=，b=6．
故直线l2的解析式为y=x+6．

（2）解法一 如图1，过点P作PD⊥l2于D，则△PDC∽△BOC．
∴．
由题意知：OA=2，OB=6，OC=8．
∴BC=，PC=10-t．
∴．
∴PD=（10-t）．
又∵CQ=t，
∴S=•t•（10-t）=-t2+3t，（1＜t＜10）．
解法二 如图2，过点Q作QD⊥PC于D，则
△QDC∽△BOC．
∴BC=，QC=t．
∴．
∴QD=t
又∵PC=10-t，
∴S=•t•（10-t）=-t2+3t，（1＜t＜10）．
（3）由S=-t2+3t=-（t-5）2+，
∵-＜0，1＜t＜10，
∴当t=5时，S有最大值为．
（4）i）由图2，若QP=QC，则PD=DC，
由，，
∴t=；  
ii）若CP=CQ，则t=10-t，
∴t=5； 
iii）若PC=PQ，过点P作PM⊥l2于M，由△CPM∽△CBO．且CM=，
由，，
∴t=．