Question

如图：一次函数y=-x+m的图象与二次函数y=ax²+bx-4的图象交于x轴上一点A，且交y轴于点B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设二次函数y=ax²+bx-4的对称轴为直线x=n（n＜0），n是方程2x²-3x-2=0的一个根，求二次函数的解析式；
（3）在（2）条件下，设二次函数交y轴于点D，在x轴上有一点C，使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．试求出C点的坐标．

Answer

（1）把点A坐标代入一次函数求出m的值，即可得解；
（2）先解一元二次方程求出二次函数的对称轴，然后根据对称轴与点A的坐标列出方程组求出a、b的值，即可得解；
（3）利用一次函数解析式求出点B的坐标，利用二次函数解析式求出点D的坐标，并判断出△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AB的长度，∠OAB=∠OBA=45°，然后根据△ABD中没有45°的角和∠ABD=135°判断出∠BAC和∠ABD是对应角为135°，从而判断出点C在点A的左边，再分AC和BD，AC和AB是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求出AC的长度，再求出OC的长度，从而得解．
【解析】
（1）∵一次函数y=-x+m图象经过点A（-2，0），
∴-（-2）+m=0，
∴m=-2，
∴一次函数解析式为y=-x-2；

（2）由2x2-3x-2=0得，x1=-，x2=2，
∴二次函数y=ax2+bx-4的对称轴为直线x=-，
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y=2x2+2x-4；

（3）令x=0，一次函数与y轴的交点B（0，-2），
二次函数与y轴的交点为D（0，-4），
∴△AOB是等腰直角三角形，BD=-2-（-4）=2，
∴AB==2，∠OAB=∠OBA=45°，
∵△ABD中，∠BAD、∠ADB都不等于45°，∠ABD=180°-45°=135°，
∴∠BAC和∠ABD是对应角为135°，
∴点C在点A的左边，
①AC和BD是对应边时，∵△ADB∽△BCA，
∴==1，
∴AC=BD=2，
∴OC=OA+AC=2+2=4，
点C的坐标为（-4，0），
②AC和AB是对应边时，∵△ADB∽△CBA，
∴==，
∴AC=AB=×2=4，
∴OC=OA+AC=2+4=6，
∴点C的坐标为（-6，0），
综上所述，在x轴上有一点C（-4，0）或（-6，0），使以点A、B、C组成的三角形与△ADB相似．