Question

一块三角形布料，三边长分别为13，14，15，需要裁出一圆形布料，其半径的最大值为（ ）
A．4
B．6.5
C．7
D．7.5

Answer

如图，AB=13，AC=14，BC=15，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，AH为BC边上的高，当圆形布料为三角形ABC的内切圆时，圆的半径最大，设⊙O的半径为R，BH=x，AH=h，则HC=15-x，OD=OE=OF=R，先在Rt△ABH和在Rt△ACH中，利用勾股定理得到关于h与x的方程组，可求出h，然后利用S△ABC=S△OAB+S△AOC+S△OBC，可得到关于R的方程，解方程即可求出R．
【解析】
如图，AB=13，AC=14，BC=15，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，AH为BC边上的高，
设⊙O的半径为R，BH=x，AH=h，则HC=15-x，OD=OE=OF=R，
在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，即h2+x2=132①，
在Rt△ACH中，AH2+CH2=AB2，即h2+（15-x）2=142②，
②-①得225-30x=196-169，
解得x=，
把x=代入①得h2+（）2=132，
解得h=，
∵S△ABC=S△OAB+S△AOC+S△OBC，
∴h•BC=AB•R+AC•R+BC•R，
∴（13+14+15）•R=×15，
解得R=4．
即圆形布料的半径的最大值为4．
故选A．